Βασικές γραφικές παραστάσεις

Δεν θα πουμε πολλά, πρόκειται για τη σταθερή συνάρτηση!

Η γραφική παράσταση μιάς συνάρτησης της μορφής  \(y = c\) ή της \(f\left( x \right) = c\), όπου \(c\) σταθερά, είναι απλά μία ευθεία κάθετη στον \(y\)-άξονα στο \(c\).

Έτσι, της δικής μας είναι:

\[y = λx + β\]

Στην περίπτωση αυτή η ευθεία έχει \(y\) τομή το \(\left(0,β\right)\) και κλίση \(λ\). Θυμηθείτε ότι η κλίση μπορεί να θεωρηθεί ως:

\[λ = \dfrac{{{\rm{Δy}}}}{{{\rm{Δx}}}}= \dfrac{{{\rm{ΑΝΟΔΟΣ}}}}{{{\rm{ΤΡΕΞΙΜΟ}}}}\]

Σημειώστε ότι άν η κλίση είναι αρνητική, θεωρούμε την άνοδο ως πτώση.

Η κλίση μας επιτρέπει να βρούμε ένα δεύτερο σημείο της ευθείας. Αν ξέρουμε ένα σημείο στην ευθεία και την κλίση της, κινούμαστε δεξιά όσο το τρέξιμο και πάνω/κάτω όσο η άνοδος ανάλογα με το πρόσημο. Εκεί θα είναι ένα δεύτερο σημείο της ευθείας.

Στην περίπτωση μας γνωρίζουμε οτι το \(\left(0,6\right)\) είναι ένα σημείο της ευθείας και η κλίση της είναι \( - \dfrac{2}{3}\). Ξεκινώντας λοιπόν από το \(\left(0,6\right)\) θα μετακινηθούμε \(3\) προς τα δεξιά (δηλ. \(0 \to 3\)) και \(2\) κάτω (δηλ. \(6 \to 4\)) και πάμε στο \(\left(3,4\right)\) που είναι ένα δεύτερο σημείο της ευθείας. Μόλις έχουμε δύο σημεία σε μια ευθεία το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να τα συνδέσουμε και να πάρουμε την ευθεία.

Έτσι, η γραφική παράσταση της ευθείας είναι:

Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση απόλυτης τιμής ορίζεται ως:

\[\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{rl}x & {{\rm{αν} \;\;}x \ge 0}\\{ - x} & {{\rm{αν }}\;\;x < 0}\end{array}} \right.\]

Έτσι, η γραφική της παράσταση είναι:

Η γραφική παράσταση της \(f\left( x \right)=\left| x \right|\) είναι ένα "\(\vee\)" με την κορυφή στην αρχή των αξόνων και τις δύο ράβδους να σχηματίζουν γωνίες \(45°\) με τον θετικό και τον αρνητικό άξονα των \(x\).

Αυτή είναι μια παραβολή στη γενική μορφή:

\[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\]

Σε αυτή τη μορφή, η \(x\)-συντεταγμένη της κορυφής (δηλ. το υψηλότερο ή το χαμηλότερο σημείο της παραβολής) είναι \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\) και η \(y\)-συντεταγμένη είναι \(y = f\left( { - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\). Άρα, η κορυφή της παραβολής θα έχει συντεταγμένες:

\[\begin{align*}x & = - \dfrac{-2}{{2\left( { - 1} \right)}} = -1\\ y & = f\left( -1 \right) = - {\left( -1 \right)^2} - 2\left( -1 \right) + 3 = 4\end{align*}\]

Άρα, η κορυφή της παραβολήw είναι \(\left(-1,4\right)\).

Μπορούμε να προσδιορίσουμε προς ποια κατεύθυνση ανοίγει η παραβολή από το πρόσημο \(a\). Αν \(a\) είναι θετικό τότε η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω (στρέφει τα κοίλα άνω, είναι κUρτή, Up) και αν \(a\) είναι αρνητικό η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω(στρέφει τα κοίλα κάτω, είναι κοίλη). Στην περίπτωσή μας η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω.

Τώρα, επειδή η κορυφή είναι πάνω από τον \(x\)-άξονα και η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω, θα τέμνει τον \(x\)-άξονα (δηλ. στις τιμές του \(x\) για τις οποίες είναι \(f\left( x \right) = 0\)). Έτσι, θα λύσουμε το εξής:

\[\begin{align*} - {x^2} - 2x + 3 & = 0\\ {x^2} + 2x - 3 & = 0\\ \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Άρα, η παραβολή τέμνει τον \(x\)-άξονα στα \(x = 1\) και \(x = -3\). Παρατηρήστε ότι για να κάνουμε τη ζωή μας πιο εύκολη στη διαδικασία επίλυσης πολλαπλασιάσαμε τα πάντα με \(-1\) για να γίνει ο συντελεστής του \({x^2}\) θετικός. Αυτό διευκόλυνε την παραγοντοποίηση.

Έτσι το γράφημα της παραβολής είναι:

Γράφημα \(f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2x+3\) που ανοίγει προς τα κάτω με κορυφή και x-τομές όπως περιγράφεται παραπάνω.

Τι να πούμε; βεβαιωθείτε ότι ξέρετε και τις δύο αυτές εκθετικές συναρτήσεις, και οι δύο θα εμφανιστούν συχνά στον Απειροστικό Λογισμό.

Σίγουρα θα σας χρειαστεί και η συμπεριφορά τους καθώς το \(x\) πηγαίνει στο \(+\infty\) ή στο \(-\infty\) και αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στη γραφική τους παράσταση .

Γραφικές παραστάσεις: \(f\left( x \right)={{\mathbf{e}}^{x}}\) και \(g\left( x \right)={{\mathbf{e}}^{ -x}}\).

Το γράφημα της \(f\left( x \right)={{\mathbf{e}}^{x}}\) είναι μια αύξουσα και πάντα θετική συνάρτηση και το γράφημα της \(g\left( x \right)= {{\mathbf{e}}^{-x}}\) είναι μια φθίνουσα πάντα θετική συνάρτηση.

Εννοείται εδώ κι αυτή!! μαζί με όλες τις άλλες "σημαντικές" γραφικές παραστάσεις.

Γράφημα της \(f\left( x \right)=\ln \left( x \right)\).

Είναι μια αύξουσα συνάρτηση που διασχίζει τον άξονα x στο (1,0).

Σίγουρα θα σας χρειαστεί και η συμπεριφορά της, καθώς το \(x\) πηγαίνει στο \(+\infty\) ή στο \(0^+\) και αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στη γραφική παράσταση .

Βεβαιωθείτε ότι μπορείτε να το σχεδιάσετε, θα σας χρειαστεί!

"Γραφική παράσταση της \(y=\sqrt{x}\), σχεδιασμένη στο \(0 \le x \le 25\)."

"Να θυμάστε ότι: το πεδίο ορισμού της συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας είναι \(x \ge 0\)."

"Βεβαιωθείτε ότι μπορείτε να σχεδιάσετε κι αυτή."

Γραφική παράσταση της: \(y = {x^3}\)

"Δεν έχετε πολλά να κάνετε, παρά μόνο να μπορείτε να φτιάχνετε τη γραφική παράσταση".

Εδώ είναι το γράφημα της \(y=\eta\mu{\left( x \right)} \) για \( - 4\pi \le x \le 4\pi \) "

"Είναι ένα κύμα με κορυφές στο \(+1\) και κοιλάδες στο \(-1\) και πλήρες μήκος κύματος \(2\pi\) (περίοδος). Υπάρχουν συνολικά 4 μήκη κύματος που φαίνονται σε αυτό το γράφημα"

Ας σημειώσουμε ότι στο ημίτονο \(\eta\mu{\left( x \right)} \), στο \(x\) μπορούμε να βάλουμε όλες τις τιμές. Έτσι το πεδίο ορισμού είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. Να θυμάστε όμως ότι:

\[-1\le\eta\mu{\left( x \right)}\le1\]

Είναι σημαντικό να παρατηρήσετε ότι το ημίτονο δεν θα είναι ποτέ μεγαλύτερο από 1 ή μικρότερο από -1. Αυτό θα είναι χρήσιμο περιστασιακά στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου.

Γενικά με \(\rho\) θετικό ( \( \rho >0\) ) ισχύει ότι:

\[ -\rho\le\rho \cdot \eta\mu{\left(\omega x\right)}\le\rho \]

"Όπως και πρίν, μάθετε να σχεδιάζετε τη γραφική παράσταση".

Ακολουθεί το γράφημα της \(y = \mathrm{\sigma\upsilon\nu} \left( x \right)\) για \( - 4\pi \le x \le 4\pi \).

"Είναι, όπως και το ημίτονο, ένα κύμα με κορυφές στο +1 και κοιλάδες στο -1 και πλήρες μήκος κύματος \(2\pi\). Υπάρχουν συνολικά 4 μήκη κύματος που φαίνονται σε αυτό το γράφημα"

Επίσης κι εδώ μπορούμε να βάλουμε όλες τις τιμές στο \(x\), έτσι το πεδίο ορισμού είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. Να θυμάστε όμως ότι:

\[ - 1 \le \mathrm{\sigma\upsilon\nu} \left( x \right) \le 1\]

"το συνημίτονο δεν θα είναι ποτέ μεγαλύτερο από \(1\) ή μικρότερο από \(-1\)". Επίσης χρήσιμο στα Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου.

Γενικά με \(\rho\) θετικό ( \( \rho >0\) ) ισχύει ότι:

\[ -\rho\le\rho \cdot \mathrm{\sigma\upsilon\nu}{\left(\omega x\right)}\le\rho \]

" Στην περίπτωση της εφαπτομένης πρέπει να είμαστε προσεκτικοί σχετικά με τα \(x\) καθώς η εφαπτομένη δεν υπάρχει όπου το συνημίτονο είναι μηδέν. Θυμηθείτε ότι:

\[\varepsilon\varphi{\left(x\right)}=\dfrac{\eta\mu{\left(x\right)}}{\sigma\upsilon\nu{\left(x\right)}}\]

Η εφαπτομένη δεν θα υπάρχει στα:

\[x = \cdots , - \dfrac{{5\pi }}{2}, - \dfrac{{3\pi }}{2}, - \dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2},\dfrac{{3\pi }}{2},\dfrac{{5\pi }}{2}, \ldots \]

και το γράφημα θα έχει ασύμπτωτες σε αυτά τα σημεία. Εδώ είναι το γράφημα της εφαπτομένης στην περιοχή \( - \dfrac{{5\pi }}{2} < x < \dfrac{{5\pi }}{ 2}\)."

Είναι "αύξουσα μόνο σε κάθε τμήμα του γραφήματος "   ∎

Όπως και με την εφαπτομένη θα πρέπει να αποφύγουμε τα \(x\) για τα οποία το ημίτονο είναι μηδέν (θυμηθείτε ότι \( \sigma\varphi{\left(x\right)}=\dfrac{\sigma\upsilon\nu{\left(x\right)}}{\eta\mu{\left(x\right)}}\)) Η συνεφαπτομένη δεν θα υπάρχει στα

\[x = \cdots , -3\pi , -2\pi , - \pi , 0 ,\pi, 2\pi , 3\pi , \ldots \]

και το γράφημα θα έχει ασύμπτωτες σε αυτά τα σημεία. Εδώ είναι το γράφημα της συνεφαπτομένης στην περιοχή \( - 2\pi < x < 2\pi\)."

Παρατηρήστε ότι είναι "φθίνουσα μόνο σε κάθε τμήμα(περίοδο) του γραφήματος "   ∎

Για να προσδιορίσουμε ακριβώς τι είδους γράφημα έχουμε εδώ, πρέπει να συμπληρώσουμε το τετράγωνο και στα δύο, \(x\) και \(y\).

\[\begin{align*}{x^2} - 4x + {y^2} + 2y & = 4\\ {x^2} - 4x + 4 - 4 + {y^2} + 2y + 1 - 1 & = 4 \\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} & = 9\end{align*}\]

Θυμηθείτε ότι για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο παίρνουμε το μισό του συντελεστή του \(x\) (ή του \(y\)), το υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά τον προσθέτουμε και τον αφαιρούμε στην εξίσωση.

Κάνοντας αυτό βλέπουμε ότι έχουμε έναν κύκλο γραμμένο πλέον σε συνήθη μορφή.

\[{\left( {x - x_0} \right)^2} + {\left( {y - y_0} \right)^2} = {ρ^2}\]

Όταν οι κύκλοι έχουν αυτή τη μορφή, μπορούμε εύκολα να αναγνωρίσουμε το κέντρο \(\left(x_0, y_0\right)\) και την ακτίνα \(ρ\). Μόλις τα βρούμε, μπορούμε αργά να σχεδιάσουμε τον κύκλο

Ο κύκλος μας έχει κέντρο στο \(\left(-1, 4\right)\) και ακτίνα \(3\). Ακολουθεί σχεδιάγραμμα αυτού του κύκλου.

Για να προσδιορίσουμε ακριβώς τι είδους γράφημα έχουμε εδώ, πρέπει να συμπληρώσουμε το τετράγωνο και στα δύο, \(x\) και \(y\).

\[\begin{align*} 9{x^2} + 54x + 16{y^2} - 32y & = 47 \\ 9\left(x^2+6x+9-9\right)+16\left(y^2-2y+1-1\right) & = 47 \\ 9\left(x+3\right)^2-81+16\left(y-1\right)^2-16 & = 47 \\ 9\left(x+3\right)^2+16\left(y-1\right)^2 & = 144 \\ \dfrac{\left(x+3\right)^2}{16}+\dfrac{\left(y-1\right)^2}{9} & = 1 \\ \end{align*}\]

Θυμηθείτε ότι για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο παίρνουμε το μισό του συντελεστή του \(x\) (ή του \(y\)), το υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά τον προσθέτουμε και τον αφαιρούμε στην εξίσωση.

Κάνοντας αυτό βλέπουμε ότι έχουμε μία έλλειψη γραμμένη πλέον σε συνήθη μορφή.

Σημειώστε: Η γραφική παράσταση της εξίσωσης:

\[\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1\]

είναι μια έλλειψη με κέντρο στο \(\left(0,0\right)\) και με κορυφές: \(\alpha\) μονάδες δεξιά/αριστερά από το κέντρο και \(\beta\) μονάδες πάνω/κάτω από το κέντρο.\)

και η γραφική παράσταση της εξίσωσης:

\[\dfrac{\left(x-x_0\right)^2}{\alpha^2}+\dfrac{\left(y-y_0\right)^2}{\beta^2}=1\]

είναι μετατόπιση της προηγούμενη έλλειψης, ώστε να έχει κέντρο στο \(\left(x_0,y_0\right)\) και με κορυφές: \(\alpha\) μονάδες δεξιά/αριστερά από το κέντρο και \(\beta\) μονάδες πάνω/κάτω από το κέντρο.

Η εξίσωση στην άσκηση έχει κέντρο στο \(\left(-3, 1\right)\) και έχει \(α = 4\) και \(β = 3\) , που για να πάρουμε ξαναγράφουμε την εξίσωση ως:

\[\dfrac{\Big(x-\left(-3\right)\Big)^2}{4^2}+\dfrac{\left(y-1\right)^2}{3^2}=1\]

για να τη φέρουμε στην κανονική μορφή.

ακολουθεί ένα σχέδιο της έλλειψης \(\dfrac{\left(x+3\right)^2}{16}+\dfrac{\left(y-1\right)^2}{9}=1 \),

με κέντρο όπως περιγράφεται παραπάνω.

Είναι υπερβολή. Υπάρχουν δύο τυπικές μορφές για μια υπερβολή.

Μορφή	\( \dfrac{\left(x-x_0\right)^2}{\alpha^2}-\dfrac{\left(y-y_0\right)^2}{\beta^2}=1\)	\( \dfrac{\left(y-y_0\right)^2}{\beta^2}-\dfrac{\left(x-x_0\right)^2}{\alpha^2}=1\)
Κέντρο	\(\left(x_0,y_0\right)\)	\(\left(x_0,y_0\right)\)
Ανοίγει	Ανοίγει δεξιά και αριστερά	Ανοίγει πάνω κάτω
Κορυφές	\(\alpha\) μονάδες δεξιά και αριστερά του κέντρου	\(\beta\) μονάδες πάνω και κάτω από το κέντρο
Κλίση ασύμπτωτων	\( \pm\dfrac{\beta}{\alpha}\)	\( \pm\dfrac{\beta}{\alpha}\)

Οι ασύμπτωτες μιας υπερβολής είναι δύο ευθείες που τέμνονται στο κέντρο και έχουν τις κλίσεις που αναφέρονται παραπάνω. Καθώς απομακρύνεστε από το κέντρο, το γράφημα θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στις ασύμπτωτες.

Για την εξίσωση που έχουμε, η υπερβολή θα ανοίγει αριστερά και δεξιά. Το κέντρο του είναι \(\left(1, -2\right)\). Οι δύο κορυφές είναι \(\left(4, -2\right)\) και \(\left(-2, -2\right)\). Οι ασύμπτωτες θα έχουν κλίσεις \( \pm \dfrac{2}{3}\).

Εδώ είναι ένα γράφημα αυτής της υπερβολής. Σημειώστε ότι οι ασύμπτωτες συμβολίζονται με τις δύο διακεκομμένες γραμμές.