ΟΡΙΣΜΟΙ (που έχουν πέσει... στις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ) (1)

Έστω\(\;{\rm A}\;\)ένα υποσύνολο του  \(\mathbb{R}\) .  Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το\(\;{\rm A}\;\)μια διαδικασία (κανόνα)   \(f\)   , με την οποία κάθε στοιχείο  \(x \in A\) αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της    \(f\)    στο x και συμβολίζεται με   \(f\left( x \right)\).

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:

\(f:A \to \mathbb{R}\)

\(x \to f\left( x \right)\)

πεδίο ορισμού:   \(A = {D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\;\;|\;f\left( x \right) \in \mathbb{R}} \right\}\)

OΡΙΣΜΟΣ

Δύο συναρτήσεις   \(f\)   και \(g\) λέγονται ίσες όταν:

    ●   έχουν  το  ίδιο  πεδίο ορισμού \(\;{\rm A}\;\)και

    ●   για κάθε  \(x \in A\) ισχύει  \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

ΟΡΙΣΜΟΣ

    ●    η \(f\)  παρουσιάζει στο  \({x_0} \in A\) (ολικό) μέγιστο, το  \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση  \(f:A \to \mathbb{R}\) λέγεται  συνάρτηση  \(1 - 1\), όταν για οποιαδήποτε  \({x_1},{x_2} \in A\)  ισχύει η συνεπαγωγή:

αν   \({x_1} \ne {x_2}\),    τότε    \(f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\).

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση  \(f:A \to \mathbb{R}\) είναι  συνάρτηση  \(1 - 1\), αν και μόνο αν για οποιαδήποτε  \({x_1},{x_2} \in A\)  ισχύει η συνεπαγωγή:

αν   \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\),    τότε    \({x_1} = {x_2}\).

(i) Αν η συνάρτηση  \(f:A \to \mathbb{R}\)  είναι  \(1 - 1\) τότε η \(f\) έχει αντίστροφη συνάρτηση. 

(ii) Η  αντίστροφη συνάρτηση της    \(f\)    , συμβολίζεται με  \({f^{ - 1}}\;\) ,  με την οποία κάθε  \({\rm{\;}}y \in f\left( A \right)\)  αντιστοιχίζεται σε μοναδικό  \({\rm{\;}}x \in A\)  για το οποίο ισχύει  \(f\left( x \right) = y\).

δηλαδή  η  \({f^{ - 1}}\) :

    ●   έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών  \(f\left( A \right)\)  της    \(f\)  ,

    ●   έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού\(\;{\rm A}\;\)της    \(f\)    και

    ●   ισχύει η ισοδυναμία:

\(f\left( x \right) = y\,\, \Leftrightarrow \,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x\)

Επομένως έχουμε:

\({f^{ - 1}}\;:f\left( A \right) \to A\)

Και ισχύει:

\({f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;}}x \in A\)       και   \(f\left( {{f^{ - 1}}\left( y \right)} \right) = y{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;\;\;}}y \in f\left( A \right)\)  

Κριτήριο παρεμβολής. (The Sandwich Theorem)

Έστω οι συναρτήσεις \(f,\;g,\;h\). Αν

    ●   \(g{\rm{\;}}\left( x \right){\rm{\;}} \le {\rm{f\;}}\left( x \right) \le {\rm{\;}}h{\rm{\;}}\left( x \right)\) ,  κοντά στο  \({x_0}\)  και, επιπλέον

    ●   \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = \ell{\rm{\;}}\)

τότε  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \ell\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια συνάρτηση  \(f\)  και \({x_0}\) ένα σημείο  \({x_0}\) του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η    \(f\)    είναι συνεχής στο  \({x_0}\), όταν

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

ΟΡΙΣΜΟΙ

    ●   Μια συνάρτηση    \(f\)    θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα  \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του  \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

    ●   Μια συνάρτηση    \(f\)    θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του  \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\) και επιπλέον

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\alpha ^ + }} f\left( x \right) = f\left( \alpha  \right)\)      και       \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\beta ^ - }} f\left( x \right) = f\left( \beta  \right)\)

Θεώρημα  Bolzano

Έστω μια συνάρτηση    \(f\)   , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\). Αν:

    ●   η   \(f\)   είναι συνεχής στο  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\) και, επιπλέον, ισχύει

    ●   \(f\left( \alpha  \right)f\left( \beta  \right) < 0\),

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,  \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\)  τέτοιο, ώστε

\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης  \(f\left( x \right) = 0\)  στο ανοικτό διάστημα  \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

Γεωμετρική ερμηνεία:

Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης    \(f\)    στο  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\). Επειδή τα σημεία  \(A\left( {{\rm{\alpha }},f\left( {\rm{\alpha }} \right)} \right)\)  και  \(B\left( {{\rm{\beta }},f\left( {\rm{\beta }} \right)} \right)\)  βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα  \(x'x\),  η γραφική παράσταση της    \(f\)    τέμνει τον άξονα \(x'x\) σε ένα τουλάχιστον σημείο

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια συνάρτηση  \(f\)  η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\).  Αν:

●      Η  \(f\)  είναι συνεχής  στο  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)  και

●      \(f\left( \alpha  \right) \ne f\left( \beta  \right)\)

τότε,  για κάθε αριθμό  \(\eta \)  μεταξύ των \(f\left( \alpha  \right)\)  και  \(f\left( \beta  \right)\)  υπάρχει  ένας, τουλάχιστον  \({x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\)  τέτοιος ώστε 

\(f\left( {{x_0}} \right) = \eta \)

Δηλαδή, υπάρχει  μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης  \(f\left( x \right) = \eta \)  στο  \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\). Δηλαδή, η εξίσωση \(f\left( x \right) = \eta \) έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση   \(f\)   λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο  \({x_0}\)  του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της   \(f\)   στο  \({x_0}\)  και συμβολίζεται με   \(f'\left( {{x_0}} \right)\).  Δηλαδή:

  \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

ΟΡΙΣΜΟΙ

●   H   \(f\)   είναι παραγωγίσιμη στο  \({\rm A}\)  ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο \({x_0} \in A\).

●   Η   \(f\)   είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα  \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

●   Η   \(f\)   είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)  του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο   \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\)  και επιπλέον ισχύει

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {\alpha ^ + }} \) \(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{x - \alpha }}\) \( \in \mathbb{R}\)    και    \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {\beta ^ - }} \) \(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( \beta  \right)}}{{x - \beta }}\) \( \in \mathbb{R}\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

●   Έστω \(f\) μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού \({\rm A}\) και  \({A_1}\)  το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή  είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε \(x \in {A_1}\) στο \(f'\left( x \right)\), ορίζουμε τη συνάρτηση

\(f'\,:\,{A_1} \to R\)

\(x \to f'\left( x \right)\)

 η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της  \(f\)  ή απλά παράγωγος της  \(f\).   H πρώτη παράγωγος της  \(f\)  συμβολίζεται και με  \(\dfrac{{df}}{{dx}}\) που διαβάζεται “ντε εφ προς ντε χι”. Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση  \(y = f'\left( x \right)\) θα τη συμβολίζουμε και με  \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^\prime}\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)

Αν μια συνάρτηση    \(f\)    είναι:

        ● συνεχής στο κλειστό διάστημα  \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)

        ● παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα  \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\) και

        ● \(f\left( \alpha  \right) = f\left( \beta  \right)\)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,  \(\xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\;\) τέτοιο, ώστε:

\(f'\left( \xi  \right) = 0\)

 Γεωμετρική ερμηνεία:

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,  \(\xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\)  τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της  \({C_f}\)  στο  \(M\left( {{\rm{\xi }},f\left( {\rm{\xi }} \right)} \right)\)  να είναι παράλληλη στον άξονα των  \(x\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)

Αν μια συνάρτηση    \(f\)    είναι:

   ●   συνεχής στο κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)

   ●   παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα   \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,  \(\xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\) τέτοιο, ώστε:

\(f'\left( \xi  \right) = \dfrac{{f\left( \beta  \right) - f\left( \alpha  \right)}}{{\beta  - \alpha }}\)

Θεώρημα  Μέσης Τιμής

Γεωμετρική ερμηνεία: υπάρχει ένα, τουλάχιστον,  \(\xi  \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\)  τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της  \({C_f}\)  στο σημείο  \(P\left( {\xi ,f\left( \xi  \right)} \right)\)  να είναι παράλληλη της ευθείας \({\rm A}{\rm B}\), που ορίζουν τα σημεία  \(A\left( {\alpha ,f\left( \alpha  \right)} \right)\)  και  \(B\left( {\beta ,f\left( \beta  \right)} \right)\)  .

Φυσική ερμηνεία: κατά την ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού στο χρονικό διάστημα  \(\left[ {{t_1},{t_2}} \right]\)  υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή   \({t_0} \in \left( {{t_1},{t_2}} \right)\)  τέτοια ώστε η ταχύτητα του κινητού τη στιγμή   \({t_0}\) να ισούται με την μέση ταχύτητα του.

ΟΡΙΣΜΟΙ

   ●   η  \(f\)  παρουσιάζει στο  \({x_0} \in A\)  τοπικό  μέγιστο, το  \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν  υπάρχει 

\(\delta  > 0\;:\;\;f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A \cap \left( {{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\)

Το  \({x_0}\)  λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το  \(f\left( {{x_0}} \right)\)  τοπικό μέγιστο της   \(f\)  .

   ●   η \(f\)  παρουσιάζει στο  \({x_0} \in A\)  τοπικό  ελάχιστο, το  \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν  υπάρχει 

\(\delta  > 0\;:\;\;f\left( x \right) \ge f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A \cap \left( {{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\)

Το  \({x_0}\)  λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το  \(f\left( {{x_0}} \right)\)  τοπικό ελάχιστο της   \(f\)  .

   ●    η \(f\)  παρουσιάζει στο  \({x_0} \in A\) (ολικό) μέγιστο, το  \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

   ●   η \(f\)  παρουσιάζει στο  \({x_0} \in A\)  (ολικό) ελάχιστο, το  \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \ge f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Έστω μια συνάρτηση    \(f\)    ορισμένη σε ένα διάστημα\(\;\Delta \;\)και  \({x_0}\)  ένα  εσωτερικό  σημείο του\(\;\Delta .\)  Αν η    \(f\)    παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο  \({x_0}\)   και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)

κρίσιμα σημεία

Τα  ε σ ω τ ε ρ ι κ ά  σημεία του\(\;\Delta \;\)στα οποία η    \(f\)    δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της    \(f\)    στο διάστημα Δ

Πιθανές θέσεις  ακροτάτων

Το  \({x_0}\)   είναι π ι θ α ν ή    θ έ σ η   α κ ρ ό τ α τ ο υ  μιας συνάρτησης \(f\) σ' ένα διάστημα \(\Delta \) αν:

ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω μία συνάρτηση  \(f\) συνεχής σ' ένα διάστημα  \(\Delta \) και  παραγωγίσιμη στο \({\Delta ^{{\rm{\varepsilon \sigma \omega \tau }}}}\) (εσωτερικό του  \(\Delta \)).  Θα λέμε ότι :

●   Η \(f\) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο  \(\Delta \),  αν η  \(f'\style{display: inline-block; transform: rotate(-55deg)}{ ↣} \mathrm{\Delta}^{\mathrm{\varepsilon\sigma\omega\tau}} \)   

●   Η \(f\) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο \(\Delta \), αν η  \(f'\style{display: inline-block; transform: rotate(+55deg)}{ ↣}\mathrm{\Delta}^{\mathrm{\varepsilon\sigma\omega\tau}} \)   

ΟΡΙΣΜΟΙ

●   Η ευθεία  \(x = {x_0}\)  λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της  \({C_f}\) 
αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  \pm \infty \)  ή   αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  \pm \infty \)

●   Η  ευθεία  \(y = \ell \)  λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της  \({C_f}\)  στο  \( + \infty \) (αντιστοίχως στο  \( - \infty \))
αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \ell \)  (αντιστοίχως  αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \ell \) )

●   Η  ευθεία  \(y = \lambda x + \beta \),  \(\left( {\lambda  \ne 0} \right)\) λέγεται  πλάγια ασύμπτωτη  της \({C_f}\) στο  \( + \infty \)
αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - \left( {\lambda x + \beta } \right)} \right) = 0\) .
{αντιστοίχως  στο \( - \infty \)   αν  \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \left( {f\left( x \right) - \left( {\lambda x + \beta } \right)} \right) = 0\) }

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω    \(f\)    μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα\(\;\Delta .\) Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της    \(f\)    στο \(\;\Delta \;\) ονομάζεται κάθε συνάρτηση \(F\) που είναι παραγωγίσιμη στο \(\;\Delta \;\)και ισχύει

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\),  για κάθε  \(x \in {\rm{\Delta }}\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)

Έστω  \(f\)  μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα  \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\). Αν \(G\) είναι μια παράγουσα της  \(f\)  στο  \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\), τότε να αποδείξετε ότι:

\(\displaystyle\int_{\rm{\alpha }}^{\rm{\beta }} f\left( t \right)dt = G\left( {\rm{\beta }} \right) - G\left( {\rm{\alpha }} \right)\)

      \(f' = T{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;\;g'}} = {\rm{H}}\)

Απάντηση

Ψευδής

   \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x},\;\;x < 0}\\{ - x,\;\;x \ge 0}\end{array}} \right.\)

Απάντηση

Ψευδής γιατί:  Μπορεί να διατηρεί πρόσημο η  \(f''\).

Για παράδειγμα:

\(f\left( x \right) = {x^4} \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2}\)

Απάντηση

ψευδής

Απάντηση

\(f\)   είναι γνησίως φθίνουσα\(\left[ { - 2,1} \right]\)  ,   \(\left[ {3,6} \right]\)

\(f\)   είναι γνησίως αύξουσα   \(\left[ {1,3} \right]\)

ΕΥΧΟΜΑΙ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!