ΟΡΙΣΜΟΙ που έχουν πέσει(& πότε) ... στις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Έστω\(\;{\rm A}\;\)ένα υποσύνολο του \(\mathbb{R}\) . Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το\(\;{\rm A}\;\)μια διαδικασία (κανόνα) \(f\) , με την οποία κάθε στοιχείο \(x \in A\) αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της \(f\) στο x και συμβολίζεται με \(f\left( x \right)\).

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε:

\(f:A \to \mathbb{R}\)

\(x \to f\left( x \right)\)

πεδίο ορισμού: \(A = {D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\;\;|\;f\left( x \right) \in \mathbb{R}} \right\}\)

OΡΙΣΜΟΣ

Δύο συναρτήσεις \(f\) και \(g\) λέγονται ίσες όταν:

● έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού \(\;{\rm A}\;\)και

● για κάθε \(x \in A\) ισχύει \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

ΟΡΙΣΜΟΣ

● η \(f\) παρουσιάζει στο \({x_0} \in A\) (ολικό) μέγιστο, το \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση \(f:A \to \mathbb{R}\) λέγεται συνάρτηση \(1 - 1\), όταν για οποιαδήποτε \({x_1},{x_2} \in A\) ισχύει η συνεπαγωγή:

αν \({x_1} \ne {x_2}\), τότε \(f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)\).

Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι:

Μια συνάρτηση \(f:A \to \mathbb{R}\) είναι συνάρτηση \(1 - 1\), αν και μόνο αν για οποιαδήποτε \({x_1},{x_2} \in A\) ισχύει η συνεπαγωγή:

αν \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)\), τότε \({x_1} = {x_2}\).

(i) Αν η συνάρτηση \(f:A \to \mathbb{R}\) είναι \(1 - 1\) τότε η \(f\) έχει αντίστροφη συνάρτηση.

(ii) Η αντίστροφη συνάρτηση της \(f\) , συμβολίζεται με \({f^{ - 1}}\;\) , με την οποία κάθε \({\rm{\;}}y \in f\left( A \right)\) αντιστοιχίζεται σε μοναδικό \({\rm{\;}}x \in A\) για το οποίο ισχύει \(f\left( x \right) = y\).

δηλαδή η \({f^{ - 1}}\) :

● έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών \(f\left( A \right)\) της \(f\) ,

● έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού\(\;{\rm A}\;\)της \(f\) και

● ισχύει η ισοδυναμία:

\(f\left( x \right) = y\,\, \Leftrightarrow \,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x\)

Επομένως έχουμε:

\({f^{ - 1}}\;:f\left( A \right) \to A\)

Και ισχύει:

\({f^{ - 1}}\left( {f\left( x \right)} \right) = x{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;}}x \in A\) και \(f\left( {{f^{ - 1}}\left( y \right)} \right) = y{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;\;\;}}y \in f\left( A \right)\)

Κριτήριο παρεμβολής. (The Sandwich Theorem)

Έστω οι συναρτήσεις \(f,\;g,\;h\). Αν

● \(g{\rm{\;}}\left( x \right){\rm{\;}} \le {\rm{f\;}}\left( x \right) \le {\rm{\;}}h{\rm{\;}}\left( x \right)\) , κοντά στο \({x_0}\) και, επιπλέον

● \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = \ell{\rm{\;}}\)

τότε \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \ell\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια συνάρτηση \(f\) και \({x_0}\) ένα σημείο \({x_0}\) του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η \(f\) είναι συνεχής στο \({x_0}\), όταν

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

ΟΡΙΣΜΟΙ

● Μια συνάρτηση \(f\) θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

● Μια συνάρτηση \(f\) θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\) και επιπλέον

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\alpha ^ + }} f\left( x \right) = f\left( \alpha \right)\) και \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\beta ^ - }} f\left( x \right) = f\left( \beta \right)\)

Θεώρημα Bolzano

Έστω μια συνάρτηση \(f\) , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\). Αν:

● η \(f\) είναι συνεχής στο \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\) και, επιπλέον, ισχύει

● \(f\left( \alpha \right)f\left( \beta \right) < 0\),

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\) τέτοιο, ώστε

\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης \(f\left( x \right) = 0\) στο ανοικτό διάστημα \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

Γεωμετρική ερμηνεία:

Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης \(f\) στο \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\). Επειδή τα σημεία \(A\left( {{\rm{\alpha }},f\left( {\rm{\alpha }} \right)} \right)\) και \(B\left( {{\rm{\beta }},f\left( {\rm{\beta }} \right)} \right)\) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα \(x'x\), η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) σε ένα τουλάχιστον σημείο

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω μια συνάρτηση \(f\) η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\). Αν:

● Η \(f\) είναι συνεχής στο \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\) και

● \(f\left( \alpha \right) \ne f\left( \beta \right)\)

τότε, για κάθε αριθμό \(\eta \) μεταξύ των \(f\left( \alpha \right)\) και \(f\left( \beta \right)\) υπάρχει ένας, τουλάχιστον \({x_0} \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\) τέτοιος ώστε

\(f\left( {{x_0}} \right) = \eta \)

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης \(f\left( x \right) = \eta \) στο \(\left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\). Δηλαδή, η εξίσωση \(f\left( x \right) = \eta \) έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση \(f\) λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \({x_0}\) του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της \(f\) στο \({x_0}\) και συμβολίζεται με \(f'\left( {{x_0}} \right)\). Δηλαδή:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

ΟΡΙΣΜΟΙ

● H \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \({\rm A}\) ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο \({x_0} \in A\).

● Η \(f\) είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο \({x_0} \in \left( {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right)\).

● Η \(f\) είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\) και επιπλέον ισχύει

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {\alpha ^ + }} \) \(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( \alpha \right)}}{{x - \alpha }}\) \( \in \mathbb{R}\) και \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {\beta ^ - }} \) \(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( \beta \right)}}{{x - \beta }}\) \( \in \mathbb{R}\)

ΟΡΙΣΜΟΣ

● Έστω \(f\) μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού \({\rm A}\) και \({A_1}\) το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε \(x \in {A_1}\) στο \(f'\left( x \right)\), ορίζουμε τη συνάρτηση

\(f'\,:\,{A_1} \to R\)

\(x \to f'\left( x \right)\)

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της \(f\) ή απλά παράγωγος της \(f\). H πρώτη παράγωγος της \(f\) συμβολίζεται και με \(\dfrac{{df}}{{dx}}\) που διαβάζεται “ντε εφ προς ντε χι”. Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση \(y = f'\left( x \right)\) θα τη συμβολίζουμε και με \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^\prime}\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι:

● συνεχής στο κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)

● παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\) και

● \(f\left( \alpha \right) = f\left( \beta \right)\)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\;\) τέτοιο, ώστε:

\(f'\left( \xi \right) = 0\)

Γεωμετρική ερμηνεία:

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της \({C_f}\) στο \(M\left( {{\rm{\xi }},f\left( {\rm{\xi }} \right)} \right)\) να είναι παράλληλη στον άξονα των \(x\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι:

● συνεχής στο κλειστό διάστημα \(\left[ {\alpha ,\beta } \right]\)

● παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα \(\left( {\alpha ,\beta } \right)\)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\) τέτοιο, ώστε:

\(f'\left( \xi \right) = \dfrac{{f\left( \beta \right) - f\left( \alpha \right)}}{{\beta - \alpha }}\)

Θεώρημα Μέσης Τιμής

Γεωμετρική ερμηνεία: υπάρχει ένα, τουλάχιστον, \(\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)\) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της \({C_f}\) στο σημείο \(P\left( {\xi ,f\left( \xi \right)} \right)\) να είναι παράλληλη της ευθείας \({\rm A}{\rm B}\), που ορίζουν τα σημεία \(A\left( {\alpha ,f\left( \alpha \right)} \right)\) και \(B\left( {\beta ,f\left( \beta \right)} \right)\) .

Φυσική ερμηνεία: κατά την ευθύγραμμη κίνηση ενός κινητού στο χρονικό διάστημα \(\left[ {{t_1},{t_2}} \right]\) υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή \({t_0} \in \left( {{t_1},{t_2}} \right)\) τέτοια ώστε η ταχύτητα του κινητού τη στιγμή \({t_0}\) να ισούται με την μέση ταχύτητα του.

ΟΡΙΣΜΟΙ

● η \(f\) παρουσιάζει στο \({x_0} \in A\) τοπικό μέγιστο, το \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν υπάρχει

\(\delta > 0\;:\;\;f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A \cap \left( {{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\)

Το \({x_0}\) λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το \(f\left( {{x_0}} \right)\) τοπικό μέγιστο της \(f\) .

● η \(f\) παρουσιάζει στο \({x_0} \in A\) τοπικό ελάχιστο, το \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν υπάρχει

\(\delta > 0\;:\;\;f\left( x \right) \ge f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A \cap \left( {{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\)

Το \({x_0}\) λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το \(f\left( {{x_0}} \right)\) τοπικό ελάχιστο της \(f\) .

● η \(f\) παρουσιάζει στο \({x_0} \in A\) (ολικό) μέγιστο, το \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \le f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

● η \(f\) παρουσιάζει στο \({x_0} \in A\) (ολικό) ελάχιστο, το \(f\left( {{x_0}} \right)\), όταν

\(f\left( x \right) \ge f\left( {{x_0}} \right){\rm{\;}}{\rm{,\;\;\;}}\forall x \in A\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Έστω μια συνάρτηση \(f\) ορισμένη σε ένα διάστημα\(\;\Delta \;\)και \({x_0}\) ένα εσωτερικό σημείο του\(\;\Delta .\) Αν η \(f\) παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο \({x_0}\) και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\)

κρίσιμα σημεία

Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του\(\;\Delta \;\)στα οποία η \(f\) δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της \(f\) στο διάστημα Δ

Πιθανές θέσεις ακροτάτων

Το \({x_0}\) είναι π ι θ α ν ή θ έ σ η α κ ρ ό τ α τ ο υ μιας συνάρτησης \(f\) σ' ένα διάστημα \(\Delta \) αν:

ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω μία συνάρτηση \(f\) συνεχής σ' ένα διάστημα \(\Delta \) και παραγωγίσιμη στο \({\Delta ^{{\rm{\varepsilon \sigma \omega \tau }}}}\) (εσωτερικό του \(\Delta \)). Θα λέμε ότι :

● Η \(f\) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο \(\Delta \), αν η \(f'\style{display: inline-block; transform: rotate(-55deg)}{ ↣} \mathrm{\Delta}^{\mathrm{\varepsilon\sigma\omega\tau}} \)

● Η \(f\) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο \(\Delta \), αν η \(f'\style{display: inline-block; transform: rotate(+55deg)}{ ↣}\mathrm{\Delta}^{\mathrm{\varepsilon\sigma\omega\tau}} \)

ΟΡΙΣΜΟΙ

● Η ευθεία \(x = {x_0}\) λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της \({C_f}\)
αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \pm \infty \) ή αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \pm \infty \)

● Η ευθεία \(y = \ell \) λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της \({C_f}\) στο \( + \infty \) (αντιστοίχως στο \( - \infty \))
αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \ell \) (αντιστοίχως αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \ell \) )

● Η ευθεία \(y = \lambda x + \beta \), \(\left( {\lambda \ne 0} \right)\) λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της \({C_f}\) στο \( + \infty \)
αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - \left( {\lambda x + \beta } \right)} \right) = 0\) .
{αντιστοίχως στο \( - \infty \) αν \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - \left( {\lambda x + \beta } \right)} \right) = 0\) }

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω \(f\) μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα\(\;\Delta .\) Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της \(f\) στο \(\;\Delta \;\) ονομάζεται κάθε συνάρτηση \(F\) που είναι παραγωγίσιμη στο \(\;\Delta \;\)και ισχύει

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), για κάθε \(x \in {\rm{\Delta }}\)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)

Έστω \(f\) μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\). Αν \(G\) είναι μια παράγουσα της \(f\) στο \(\left[ {{\rm{\alpha }},{\rm{\beta }}} \right]\), τότε να αποδείξετε ότι:

\(\displaystyle\int_{\rm{\alpha }}^{\rm{\beta }} f\left( t \right)dt = G\left( {\rm{\beta }} \right) - G\left( {\rm{\alpha }} \right)\)

\(f' = T{\rm{\;\;}}{\rm{,\;\;\;\;g'}} = {\rm{H}}\)

Απάντηση

Ψευδής

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x},\;\;x < 0}\\{ - x,\;\;x \ge 0}\end{array}} \right.\)

Απάντηση

Ψευδής γιατί: Μπορεί να διατηρεί πρόσημο η \(f''\).

Για παράδειγμα:

\(f\left( x \right) = {x^4} \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow f''\left( x \right) = 12{x^2}\)

Απάντηση

ψευδής

Απάντηση

\(f\) είναι γνησίως φθίνουσα\(\left[ { - 2,1} \right]\) , \(\left[ {3,6} \right]\)

\(f\) είναι γνησίως αύξουσα \(\left[ {1,3} \right]\)

ΕΥΧΟΜΑΙ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!

jimiRed